Optimal bankrullestorlek vid pokerspel av SNG-typ

Inledning

Hur många inköp bör en "vinnande" SnG-spelare optimalt sett ha i sin bankrulle? Med andra ord: Hur gör man en optimal avvägning mellan å ena sidan risken att gula hela sin bankrulle och å andra sidan risken att gå miste om vinster? Spelar man "för lågt" blir risken att gula naturligtvis lägre, men då på bekostnad av att man inte tar vara på sina möjligheter att vinna pengar. Spelar man "för högt" är problemet istället att risken att gula är för stor i förhållande till vinstmöjligheterna.

Ställer man den inledande frågan på något forum kan man förvänta sig svar på alla möjliga nivåer, där de flesta som tycker till kommer att vara ganska övertygade om att just deras egen tumregel är den bästa. Men vilka faktorer är det egentligen som styr hur stor bankrulle som krävs? Och hur tar man hänsyn till dessa faktorer?

Utifrån det så kallade Kelly-kriteriet kan man besvara frågan. Kelly-kriteriet är en härledd formel som ger ett generellt svar på hur stor andel av sin bankrulle som man optimalt sett ska satsa i situationer med kända pottodds och vinstodds. Den generella Kelly-formeln kan skrivas som

f* = (p(1+b)-1)/b

där

- f* är den andelen av bankrullen som ska satsas den enskilda gången
- b är de “pottodds" man får (på formen “b mot 1")
- p är sannolikheten att man vinner den enskilda gången

Om man till exempel erbjuds vinstoddsen 1,5 mot 1 (d.v.s. b = 1,5) i ett spel som är en ren slantsingling (d.v.s. p = 50 %) så är den optimala avvägningen mellan vinstpotential och risk att satsa f* = (0,5(1+1,5)-1)/1,5 = 1/6 av sin bankrulle på spelet. Med andra ord ska man spela så pass högt att bankrullen motsvarar 6 inköp i det aktuella spelet.


Kelly-kriteriet vid SnG-spel

För att kunna använda Kelly-kriteriet i ett SnG-sammanhang krävs i princip alltså att vi skattar/antar storleken på den edge vi har över motståndet och att vi kan observera/bedöma hur mycket vi vinner när vi vinner. Att vår edge, som styrs av faktorn p, måste vara betydelsefull är tämligen trivialt. De flesta inser nog intuitivt att man kan spela för en större del av sin bankrulle om man har större edge, allt annat lika. Men hur stark är egentligen denna effekt?

Faktorn b styrs av den rejknivå som gäller, hur prisfördelningen ser ut och hur stor sannolikheten är att vi hamnar på de olika prisalternativ som finns. Det är naturligtvis tämligen trivialt att det krävs fler inköp i bankrullen om rejken är högre. Men hur hårt slår detta egentligen på olika rejknivåer?

Vi antar inledningsvis att vi dubblar vår insats om vi vinner, vilket motsvarar att vi spelar HU SnG eller DoN SnG. Det vi kan vinna är på nettonivå alltså en motståndares insats, som vi kan kalla i. För att kunna göra det måste vi själva satsa i(1+r) där r är rejkprocenten (justerad för eventuell rejkback). Vi får då b = i/(i(1+r)) = 1/(1+r).

Om vi pluggar in det i Kelly-formeln så blir den

f* = (p(1+1/(1+r))-1)(1+r)

Ett litet exempel: Vi spelar HU SnG med vinstchansen p = 0,54. Rejken är r = 7 %. Den andel av vår bankrulle som vi optimalt sett bör satsa är då

f* = (0,54(1+1/(1+0,07))-1)(1+0,07) = 0,0478

vilket motsvarar en bankrulle som består av 1/0,0478 = 21 inköp på den aktuella nivån.

Så till lite känslighetsanalys. I figur 1 nedan visas hur antalet inköp som krävs vid en edge motsvarande p = 0,54 varierar för olika nivåer på rejken. Det framgår att rejknivån spelar en påtaglig roll för hur många inköp man måste ha i bankrullen, allt annat lika.


Figur 1: Antal inköp som krävs vid olika nivåer på rejken om p = 0,54

I figur 2 visas hur antalet inköp som krävs vid en rejk på r = 5 % varierar för olika nivåer på den edge man kan ha.


Figur 2: Antal inköp som krävs vid olika sannolikheter för vinst om r = 5 %

Som synes spelar nivån på vår edge en mycket stor roll för hur många inköp vi behöver ha i bankrullen. En något högre edge leder till att antalet inköp som krävs i bankrullen sjunker rejält. I det perspektivet kan det t.ex. alltså sägas vara helt rationellt att “skotta" om man ser en känd "fisk" på en högre nivå. En annan observation är att det är väsentligt att skatta sin edge korrekt för att inte ha helt fel antal inköp i sin bankrulle.

Hur ska man då göra om det inte är HU SnG vi spelar? Om vi tänker oss en 10-manna SnG där vinnaren tar allt blir våra pottodds 9i mot i(1+r) och således b = 9/(1+r). Men de flesta SnG har en fördelning av prispotten på de bäst placerade spelarna, vilket gör att vi måste beräkna pottoddsen baserat på den genomsnittliga nettovinst vi antas få om vi hamnar ITM.

Exempel: Om prispotten fördelas enligt modellen 50 % - 30 % - 20 % och vi räknar med att våra ITM-placeringar fördelas så att vi vinner i 40 % av fallen, blir 2:a i 20 % av fallen och 3:a i 40 % av fallen, så blir den vägda genomsnittliga nettovinsten av en ITM-placering lika med 2,4 inköp. Våra pottodds kan då skrivas som b = 2,4/(1+r).

( Det ska dock noteras att denna vägning inför en mindre osäkerhet i modellen, eftersom det rör sig om en förväntad nettovinst med en viss varians, och inte den nettovinst man faktiskt får om man hamnar ITM. Den optimala bankrullestorleken kommer i praktiken därför att bli något större än vad modellen visar. Denna effekt är emellertid relativt marginell när det gäller turneringar med 10 spelare och 3 prisplatser, som i exemplet, men blir mer påtaglig om man använder modellen för att analysera bankrullekrav för stora MTT. Det ligger dock utanför syftet med denna artikel att fördjupa analysen i detta avseende.)

Utöver det behöver vi skatta sannolikheten att vi faktiskt hamnar ITM. Om den t.ex. antas vara p = 0,33 samtidigt som rejken antas vara till exempel 5 % kan vi enkelt beräkna den andel av vår bankrulle som vi optimalt sett bör satsa varje gång till

f* = (0,33(1+2,4/(1+0,05))-1)(1+0,05)/2,4 = 0,0369

vilket motsvarar en bankrulle som består av 1/0,0369 = 27 inköp på den aktuella nivån.

Den generella principen som vi såg tidigare, att nivån på den edge man har spelar mycket stor roll för hur många inköp som bankrullen optimalt sett bör bestå av, gäller oavsett vilket typ av turnering man spelar. I exemplet med en 10-manna SnG som vi tittade på ovan så kommer en ökning av vår edge från p = 0,33 till p = 0,35 (allt annat lika) att innebära att den optimala bankrullen sjunker till endast 15 inköp.


Avslutning

Sammanfattningsvis är det alltså så att två generella faktorer matematiskt sett styr hur stor bankrulle som krävs vid SnG-spel. För det första har nivån på rejken stor betydelse. Högre rejk kräver större bankrulle, allt annat lika. För det andra är nivån på den edge man har mot motståndet av mycket stor betydelse. Större edge innebär att mindre bankrulle krävs, allt annat lika. Det innebär att det matematiskt sett är helt korrekt att “skotta" mot mindre bra spelare, men det innebär framför allt att t.o.m. mindre fel i uppskattningen av den edge man har kan få stora konsekvenser i termer av fel storlek på bankrullen.

Tror man att det finns en tumregel om ett specifikt antal inköp som skulle vara en “lagom" bankrulle för alla oavsett omständigheterna så tror man alltså fel.

//BJÖRN LANTZ